Generation of Shading-Off in Images by Extrapolation of Lipschitz Functions

In computer graphics, the rendering of shading, mist, texture, etc., may require the generation of shading-oo in image luminace or chrominance. This can be mathematically modeled as the construction of a gradual numeric function from a partially deened function. The Lips-chitz condition is an appropriate requirement for gradualness of a function; futhermore it has the advantage of being deened in both the Euclidian and digital spaces. In this paper, we review the structure of the set of Lipschitz functions deened on a metric space E, and then we examine methods for extrapolating a Lipschitz function on a subset S of E to a Lipschitz function on E. Two approaches are considered: rst the use of lattice-theoritical operations from mathematical morphology, and second the solution of an integral equation for a nite Borel measure on S when S is compact. This theory can be applied to the design of algorithms for generating gradual colour ranges in synthetic images. la g en eration de d egrad es dans la luminace ou la chrominance d'une image. Ceci peut ^ etre model e math ematiquement comme la g en eration d'une fontion num erique graduelle a partir d'une fontion partiellement d eenie. La condition de Lipschitz est une exigence appropri ee pour la gradualit e d'une fonction; de plus elle a l'avantage d'^ etre d eenie dans les deux espaces Euclidien et digital. Dans cet article nous passons en revue la structure de l'ensemble des fonctions de Lipschitz sur un espace m etrique E, et nous examinons ensuite les m ethodes pour extrapoler une fonction de Lipschitz sur un sous-ensemble S de E a une fonction de Lips-chitz sur E. Deux approches sont prises en consid eration : d'abord l'utilisation des m ethodes de la th eorie des treillis en morphologie math ematique, ensuite la solution d'une equation in-t egrale pour une mesure de Borel nie sur S quand S est compact. Cette th eorie peut ^ etre appliqu ee a la conception d'algorithmes pour engendrer des d egrad es de couleurs dans des images synth etiques.